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旅人算（たびびとざん）

小学校 算数 第5学年 古典 数学的活動B 図形と量 目安 25 分

作者
吉田光由『塵劫記』より（1598–1672）
原作発表
1627 年（江戸時代前期）
出典
「塵劫記」（じんこうき）
底本：吉田光由『塵劫記』寛永4年（1627年）初版。問題文は複数の翻刻本（岩波文庫『塵劫記』ほか）に共通する標準的表記による

学習のめあて

  • 旅人算を通じて、速さ・道のり・時間の関係に親しむ
  • 「二人の進む速さの和」「速さの差」という見方で、出会い・追いかけの問題を整理できる
  • 単位（里・日）の変換に気をつけて計算する

本文

『塵劫記』の問題（江戸の原問を現代風にアレンジ）

甲（こう）は京（きょう）から、乙（おつ）は大阪（おおさか）から、
同じ日、おたがいに向かいあって旅立った。
京と大阪の道のりは、ちょうど40里（り）。
甲は1日に5里、乙は1日に3里進む。
甲と乙は、何日後にどこで出会うか。

江戸の人々の解き方 — 「速さの和」で考える

ステップ1：1日に二人の距離は何里ちぢまるか

甲が 5里、乙が 3里 進む。たがいに向かいあって進むのだから、二人のあいだの道のりは、1日に

5 + 3 = 8里 ずつ短くなる

ステップ2：40里を埋めるのに何日かかるか

40 ÷ 8 = 5日

ステップ3：出会う場所

5日のあいだに：

  • 甲は京から　5 × 5 = 25里 進む
  • 乙は大阪から　3 × 5 = 15里 進む

確かめ算：25 + 15 = 40里 ✓

答え：5日後に、京から25里（大阪から15里）の地点で出会う。

図で考える

京 ────────────── 出会いの地点 ──────── 大阪
   ←—— 甲 25里 ——→         ←— 乙 15里 —→
   （1日5里 × 5日）         （1日3里 × 5日）

         合わせて 40里 を 5日で

仲間の問題：追いかけ算

同じ向きに進む場合は、「速さの差」がポイントになります。

甲は1日に3里、乙は1日に5里進む。
甲が2日先に旅立ち、その後で乙が同じ道を追いかけた。
何日後に乙は甲に追いつくか。

解き方の流れ

  1. 甲は2日で　3 × 2 = 6里 先に進んでいる
  2. 乙のほうが1日に　5 − 3 = 2里 多く進む（速さの差）
  3. 6里の差を埋めるのに　6 ÷ 2 = 3日かかる

答え：3日後に乙は甲に追いつく（乙が出発してから数えて）。

現代の算数とのつながり — 「速さ × 時間 ＝ 道のり」

小学5年生で習う「速さ」の三つの関係式：

道のり ＝ 速さ × 時間
速さ ＝ 道のり ÷ 時間
時間 ＝ 道のり ÷ 速さ

旅人算は、この三つの関係を 「二人ぶん」に拡張したもの、と言えます。

  • 出会い算：道のり ÷ （速さの和） ＝ 出会うまでの時間
  • 追いかけ算：差 ÷ （速さの差） ＝ 追いつくまでの時間

歴史の窓 — 旅と算術

江戸時代の人々は、参勤交代や巡礼、商売のために、現代よりはるかによく歩く生活をしていました。1日に進める距離（5〜10里、つまり20〜40km）を見積もり、旅費と日数を計算することは、商人や役人にとって必須の技術だったのです。

『塵劫記』が旅人算をていねいに解説したのは、こうした実用のためでもありました。けれども問題そのものは、純粋なパズルとしてもおもしろく、寺子屋の子どもから町人まで楽しんで解いていたと伝わります。

語句の意味

  • 里（り） 江戸時代の長さの単位。1里 = 36町 = 約3.927キロメートル。約4km と覚えておくと便利。
  • 京（きょう）と大阪（おおさか） 江戸時代の主要都市。京（京都）と大阪（おおさか）の実距離は約十二里（48km）。本問では『塵劫記』の流儀にならい、二地点間40里として計算する理論問題として扱う。
  • 速さ 単位時間あたりに進む道のり。「一日に5里」「時速60km」のように表す。
  • 出会い算（であいざん） 二人が向かい合って進み、出会うまでの時間を求める問題。「二人の速さの和」が鍵。
  • 追いかけ算（おいかけざん） 同じ向きに進む二人で、後から出た人が先の人に追いつく時間を求める問題。「二人の速さの差」が鍵。

考えてみよう

  1. 甲は1日5里、乙は1日3里進みます。40里はなれた二地点から同時に向かいあって出発したとき、何日後に出会いますか。
  2. 出会うまでに、甲は何里、乙は何里進みましたか。
  3. 練習問題：60里離れた二地点から、甲が1日6里、乙が1日4里で同時に向かいあって出発しました。何日後に出会いますか。
  4. 練習問題（追いかけ算）：甲は1日3里進みます。甲が先に2日進んだあと、乙が同じ道を追いかけました。乙は1日5里進みます。何日後に追いつきますか。
  5. 「速さの和」「速さの差」を使い分ける場面を、自分の言葉で説明してみましょう。
  6. 現代の交通手段で旅人算を考えてみましょう。新幹線（時速270km）と各駅停車（時速60km）が同時に同方向に発車したとき、新幹線は何時間で各駅停車を追いかけて追い抜けますか（同じ路線として）。

指導要領との対応

このページは、文部科学省「小学校学習指導要領（平成29年告示）」算数 第5学年の 以下の指導事項を意識して編集しています。

  • 数学的活動 (1) — 日常の事象を算数の問題として捉え、見通しをもって問題を解決する活動
  • B(2) 速さ — 速さの意味と表し方、速さ・道のり・時間の関係
  • C(1) 比例 — 二つの数量の関係に着目し、変化や対応の特徴を考察する

※ 文部科学省告示の本文ではなく、編集者による要旨の言い換えです。 正確な指導事項は文部科学省の公式資料を参照してください。

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出典・ライセンス

  • 原文: 吉田光由『塵劫記』より「旅人算（たびびとざん）」（1627年）
  • 入力テキスト: 「塵劫記」（じんこうき） （底本：吉田光由『塵劫記』寛永4年（1627年）初版。問題文は複数の翻刻本（岩波文庫『塵劫記』ほか）に共通する標準的表記による）
  • 原文の権利: パブリックドメイン
  • 編集・語注・発問・解説: CC BY 4.0 © project_procopios contributors