鼠算（ねずみざん）

『塵劫記』の問題

正月（しょうがつ）に、鼠（ねずみ）の親子 14ひき あり。
父・母 2ひきと、子 12ひき。
2月、この14ひきが、それぞれ 12ひきずつの子を産む。
3月もまた、すべての鼠が同じように子を産む。
このようにして、12月（しわす）には、ねずみは何ひきになるか。

— 吉田光由『塵劫記』より（要約）

問題のしくみを見やすく整える

『塵劫記』の元の文は、「親子14ひき」を 7組のつがい（夫婦） と数えています。つがいが12ひきの子を産むと、子のうち6組がまた新たなつがいになり、翌月にはそれぞれが12ひきずつ産む——という仕組みです。

すこし整理すると、ネズミの数は 毎月7倍ずつふえていくと考えてよい問題になります（親も生き残り、子も次の月にはつがいを組んで産む）。

月ごとに増えるネズミの数を表にしてみる

月	ネズミの数	前月の何倍？
1月	14	—
2月	98	×7
3月	686	×7
4月	4,802	×7
5月	33,614	×7
6月	235,298	×7
7月	1,647,086	×7
8月	11,529,602	×7
9月	80,707,214	×7
10月	564,950,498	×7
11月	3,954,653,486	×7
12月	27,682,574,402	×7

答え

12月のネズミの数は、なんと 276億8257万4402匹！

これは、現在の世界の人口（約80億人）の3倍以上。1月の親子14匹が、わずか11か月でこんな数になってしまいます。

計算の仕組み

毎月7倍にふえるので、12月の数は

14 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7 × 7

つまり「14 に 7 を 11回かけた」数になります。中学校以降の数学では、これを

14 × 7¹¹（じゅういちじょう）

と書きます。「指数（しすう）」と呼ばれる書き方で、同じ数をくり返しかけ合わせる回数を、小さく上に書くのです。

「ねずみ算式に増える」という日本語

『塵劫記』のこの問題が江戸時代の人々に強い印象を残したため、日本語には今でも 「ねずみ算式に増える」 という表現が残っています。意味は「ものすごい勢いで、倍々にふえていく」。

身の回りには、ねずみ算と同じ仕組みで増えるものがたくさんあります：

• 細菌やウイルスの増え方（条件がそろえば20分で2倍）
• SNSの情報の拡散（10人に伝わる → 100人 → 1,000人 …）
• 銀行の複利の利息（毎年同じ利率を元本にかける）
• 連鎖反応（核分裂、雪崩、トランプの「都合のいい嘘」）

歴史の窓 — 倍々の不思議は世界共通

「倍々にふえると、すぐに巨大な数になる」という驚きは、世界中の数学者を魅了してきました。同じころのインドには「チェス盤と米粒」という有名な物語があります。チェス盤の最初のマスに米1粒、次のマスに2粒、その次に4粒……と、マスごとに倍々にしていくと、64マス目には1,800京（けい）粒もの米が必要になる、というお話です。

江戸の『塵劫記』のねずみ算も、その同じ「倍々の驚き」を、日本人になじみ深いネズミの繁殖力で語ったものでした。